Question

如圖，已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°．
（Ⅰ）求DP與CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DP與平面AA′D′D所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：方法一：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系D-xyz．
連接BD，B'D'．在平面BB'D'D中，延長DP交B'D'于H．
求出．
（Ⅰ）利用，求出．即可．
（Ⅱ）平面AA'D'D的一個法向量是．通過，得到．即可．
方法二：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標
系D-xyz．求出解題過程同方法一．
解答：解：方法一：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標系D-xyz．
則，．連接BD，B'D'．
在平面BB'D'D中，延長DP交B'D'于H．
設，由已知，
由
可得．解得，所以．（4分）
（Ⅰ）因為，
所以．即DP與CC'所成的角為45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一個法向量是．
因為，所以．
可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°．（12分）

方法二：如圖，以D為原點，DA為單位長建立空間直角坐標
系D-xyz．則，，．
設P（x，y，z）則，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）
∴，則，由已知，，
∴λ²-4λ+2=0，解得，∴（4分）
（Ⅰ）因為，
所以．即DP與CC'所成的角為45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一個法向量是．
因為，所以．
可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°．（12分）
點評：本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，法向量的求法，直線與平面所成的角，考查計算能力．