Question

已知函數f（x）=|log₂x|，正實數m，n滿足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在區間[m²，n]上的最大值為2，則m、n的值分別為（　　）

• A、

  2

  2

  ，

  2

• B、

  1

  4

  ，2
• C、

  1

  2

  ，2
• D、

  1

  4

  ，4

Answer 1

分析：利用函數的單調性可得∴|

log

m2 2

|=2，或 log₂ⁿ=2，當|

log

m2 2

|=2時，n=

1

m

，n=2，m=

1

2

，經檢驗滿足條件，
當 log₂ⁿ=2時，n=4，m=

1

4

，經檢驗不滿足條件．

解答：解：由題意得-log₂^m=log₂ⁿ，

1

m

=n，函數f（x）=|log₂x|在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
∴|

log

m2 2

|=2，或 log₂ⁿ=2．
∴當|

log

m2 2

|=2時，n=

1

m

，n=2，m=

1

2

．此時，f（x）在區間[m²，n]上的最大值為2，滿足條件．
當 log₂ⁿ=2時，n=4，m=

1

4

，此時，f（x）在區間[m²，n]上的最大值為|

log

1 16 2

|=4，不滿足條件．
綜上，n=2，m=

1

2

．
故選 C．

點評：本題考查函數的單調性和特殊點，函數的最值的求法，體現了分類討論的數學思想．