Question

（2013•連云港一模）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，點D為BC中點，點E為BD中點，點F在AC₁上，且AC₁=4AF．
（1）求證：平面ADF⊥平面BCC₁B₁；
（2）求證：EF∥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析：（1）欲證平面ADF⊥平面BCC₁B₁，可先證AD⊥平面BCC₁B₁，CD⊥AB，因AB=AC，D為BC中點，所以AD⊥BC，故只須證CC₁⊥AD，這個可以根據直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC得到；
（2）欲證EF∥平面ABB₁A₁，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面ABB₁A₁內一直線平行，連結CF延長交AA₁于點G，連結GB．根據中點條件及AC₁=4AF可知EF∥GB，又EF?平面ABBA₁，GB?平面ABBA₁，滿足定理所需條件，從而得出答案．

解答：證明：（1）因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥平面ABC，
而AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD．…（2分）
又AB=AC，D為BC中點，所以AD⊥BC，
因為BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
所以AD⊥平面BCC₁B₁，…（5分）
因為AD?平面ADF，
所以平面ADF⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（2）連結CF延長交AA₁于點G，連結GB．
因為AC₁=4AF，AA₁∥CC₁，所以CF=3FG，
又因為D為BC中點，點E為BD中點，所以CE=3EB，
所以EF∥GB，…（11分）
而EF?平面AB₁A₁B，GB?平面AB₁A₁B，
所以EF∥平面ABB₁A₁．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．