Question

已知焦距為的雙曲線的焦點在x軸上，且過點P .
（Ⅰ）求該雙曲線方程 ；
（Ⅱ）若直線m經過該雙曲線的右焦點且斜率為1，求直線m被雙曲線截得的弦長.

Answer 1

(1) ；（2）|AB|="6" 。

試題分析：(1)設雙曲線方程為（a,b＞0）
左右焦點F₁、F₂的坐標分別為（-2，0）（2，0）           1分
則|PF₁|－|PF₂|=2=2，所以=1，            ,3分
又c=2,b=                             5分
所以方程為                       6分
（2）直線m方程為y=x－2                        7分
聯立雙曲線及直線方程消y得2 x² +4x-7=0                     9分
設兩交點，         x₁+x₂=-2,    x₁x₂=-3.5        10分
由弦長公式得|AB|=6                          12分
點評：中檔題，求圓錐曲線的標準方程，往往利用定義或曲線的幾何性質，確定a,b,c,e等。涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往聯立方程組，應用韋達定理，簡化解題過程。本題直接利用弦長公式，計算較為簡便。