Question

如果奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[4，9]上是增函數(shù)，且最小值為5，那么y=f（x）在區(qū)間[-9，-4]上（　　）

A．增函數(shù)且最小值為-5

B．增函數(shù)且最大值為-5

C．減函數(shù)且最小值為-5

D．減函數(shù)且最大值為-5

Answer 1

分析：根據(jù)題意得任意的x∈[4，9]，有f（x）≥f（4）恒成立，從而對(duì)x∈[-9，-4]都有f（-x）≥f（4）恒成立，由函數(shù)為奇函數(shù)得對(duì)任意的x∈[-9，-4]有f（x）≤f（-4）=-5恒成立．由此可得答案．

解答：解：∵奇函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[4，9]上是增函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間[-9，-4]上也是增函數(shù)
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[4，9]上是增函數(shù)，最小值為5，
∴當(dāng)4≤x≤9時(shí)，[f（x）]min=f（4）=5，
即任意的x∈[4，9]，f（x）≥f（4）恒成立．
又∵x∈[-9，-4]時(shí)，-x∈[4，9]，得f（-x）≥f（4）恒成立，
∴根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得-f（x）≥f（4）即f（x）≤f（-4），
∵f（-4）=-f（4）=-5，
∴對(duì)任意的x∈[-9，-4]，f（x）≤f（-4）=-5恒成立，
因此，f（x）在區(qū)間[-9，-4]上為增函數(shù)且有最大值f（-4）=-5．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的奇偶性與單調(diào)性，求它在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性與最值．著重考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其相互關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．