Question

12．已知三個復數z₁，z₂，z₃，并且|z₁|=|z₂|=|z₃|=1，z₁，z₂所對應的向量$\overrightarrow{o{z}_{1}}$，$\overrightarrow{o{z}_{2}}$滿足$\overrightarrow{o{z}_{1}}$•$\overrightarrow{o{z}_{2}}$=0，則|z₁+z₂-z₃|的取值范圍是[$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}+1$]．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，再由|z₁+z₂-z₃|的幾何意義求解．

解答 解：由題意可知：復數z₁，z₂，z₃對應的點Z₁，Z₂，Z₃在單位圓上，
又$\overrightarrow{O{Z}_{1}}•\overrightarrow{O{Z}_{2}}=0$，∴OZ₁⊥OZ₂．
不妨設Z₁（1，0），Z₂（0，1），如圖：

∴當Z₃與A重合時，|z₁+z₂-z₃|有最小值為$\sqrt{2}-1$；
當Z₃與B重合時，|z₁+z₂-z₃|有最大值為$\sqrt{2}+1$．
∴|z₁+z₂-z₃|的取值范圍是[$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}+1$]．
故答案為：[$\sqrt{2}-1$，$\sqrt{2}+1$]．

點評 本題考查復數模的求法，考查向量垂直與數量積的關系，是中檔題．