Question

設t≠0,點P(t,0)是函數f(x)=x³+ax與g(x)=bx²+c的圖象的一個公共點,兩函數的圖象在點P處有相同的切線.

(1)用t表示a、b、c;

(2)若函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減,求t的取值范圍.

Answer 1

(1)解:因為函數f(x)、g(x)的圖象都過點(t,0),

    所以f(t)=0,即t³+at=0.

    因為t≠0,所以a=-t².

    g(t)=0,即bt²+c=0,所以c=ab.

    又因為f(x)、g(x)在點(t,0)處有相同的切線,所以f′(t)=g′(t).

    而f′(x)=3x²+a,g′(x)=2bx,

    所以3t²+a=2bt.

    將a=-t²代入上式得b=t.

    因此c=ab=-t³.

    故a=-t²,b=t,c=-t³.

(2)解法一:y=f(x)-g(x)=x³-t²x-tx²+t³,y′=3x²-2tx-t²=(3x+t)(x-t).

    當y′=(3x+t)(x-t)＜0時,函數y=f(x)-g(x)單調遞減.

    由y′＜0,若t＞0,則-＜x＜t;

    若t＜0,則t＜x＜-.

    由題意,函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減,則(-1,3)(-,t)或(-1,3)(t,-).

    所以t≥3或-≥3,即t≤-9或t≥3.

    又當-9＜t＜3時,函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上不單調遞減.

    所以t的取值范圍為(-∞,-9)∪［3,+∞).

    解法二:y=f(x)-g(x)=x³-t²x-tx²+t³,

    y′=3x²-2tx-t²=(3x+t)(x-t).

    因為函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減,且y′=(3x+t)(x-t)是開口向上的拋物線,

    所以

    即

    解得t≤-9或t≥3.

    所以t的取值范圍為(-∞,-9)∪［3,+∞).