Question

求函數f（x）=

x2sin π x (x≠0) 0(x=0)

的導數．

Answer 1

分析：對于分段函數的導數要分段來求．先通過乘積的導函數的法則求出原函數在x≠0時的導數，再利用導數定義求出當x=0時的導數，最后分段寫出導數解析式即可．

解答：解：當x≠0時，f′(x)=(x2sin

π

x

)′=2xsin

π

x

+x2cos

π

x

(

-π

x2

)=2xsin

π

x

-πcos

π

x

．
當x=0時，f′(0)=

lim

△x→0

f(△x+0)-f(0)

△x

=

lim

△x→0

△x2sin π △x -0

△x

=

lim

△x→0

△xsin

π

△x

=0．
∴f′(x)=

2xsin π x -πcos π x .  (x≠0) 0(x=0)

．

點評：本題考查了導數的運算，已知原函數是一個分段函數，求導函數解析式，利用分段求解的方法，本題屬于基礎題．導數的四則運算法則（和、差、積、商）：①（u±v）'=u'±v'②（uv）'=u'v+uv'③（u/v）'=

u′v-uv′

v2

．