Question

已知函數f（x）=x²-2ax+b的圖象關于直線x=1對稱，且方程f（x）+2x=0有兩個相等的實根．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）=x²-2ax+b在閉區間[0，3]上的最值．

Answer 1

分析：（1）由已知f（x）=x²-2ax+b的圖象關于直線x=1對稱，可得-

-2a

2

=1，從而a=1，根據方程f（x）-2x=0有兩個相等的實根，可得△=0，從而可求b的值；
（2）求導函數f'（x）=2x-2，利用f'（x）＜0得函數單調遞減區間；f'（x）＞0得f（x）的單調遞增區間，結合定義域可求函數的最值．

解答：解：（1）由已知f（x）=x²-2ax+b的圖象關于直線x=1對稱，可得-

-2a

2

=1，
∴a=1，
又方程f（x）-2x=0有兩個相等的實根，可得△=（2a-2）²-4b=0，
∴b=0，
∴

a=1 b=0

（2）由（1）知f（x）=x²-2x且f'（x）=2x-2可知，
當x∈[0，1]時，f'（x）＜0所以f（x）單調遞減；
當x∈[1，3]時，f'（x）＞0所以f（x）單調遞增   
因為f（0）=0，f（1）=-1，f（3）=3，
所以f（x）的最大值為3，f（x）最小值為-1．
注：也可以用二次函數的圖象來求最值．

點評：本題以二次函數的性質為載體，考查二次函數解析式的求解，考查二次函數在指點區間上的最值問題，解題時應注意對稱軸與區間的位置關系．