Question

徐州、蘇州兩地相距500千米，一輛貨車從徐州勻速行駛到蘇州，規定速度不得超過100千米/小時．已知貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數為0.01；固定部分為a元（a＞0）．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數，并指出這個函數的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

分析：（1）求出汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間，根據貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可得全程運輸成本，及函數的定義域；
（2）利用基本不等式可得

500a

v

+5v≥100

a

，當且僅當

500a

v

=5v，即v=10

a

時，等號成立，進而分類討論可得結論．

解答：解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為

500

v

，全程運輸成本為y=a×

500

v

+0.01v²×

500

v

=

500a

v

+5v …．（4分）
故所求函數及其定義域為y=

500a

v

+5v，v∈（0，100]…．（6分）
（2）依題意知a，v都為正數，故有

500a

v

+5v≥100

a

，當且僅當

500a

v

=5v，即v=10

a

時，等號成立…（8分）
①若10

a

≤100，即0＜a≤100時，則當v=10

a

時，全程運輸成本y最�。�（10分）
②若10

a

＞100，即a＞100時，則當v∈（0，100]時，有y′=-

500a

v2

+5=

5(v2-100a)

v2

＜0．
∴函數在v∈（0，100]上單調遞減，也即當v=100時，全程運輸成本y最�。�…．（14分）
綜上知，為使全程運輸成本y最小，當0＜a≤100時行駛速度應為v=10

a

千米/時；當a＞100時行駛速度應為v=100千米/時．…（16分）

點評：本題考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，考查導數知識，解題的關鍵是構建函數模型，利用基本不等式求最值．