Question

統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：y=

1

128000

x3-

3

80

x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙兩地相距100千米．
（Ⅰ）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

Answer 1

分析：（I）把用的時間求出，在乘以每小時的耗油量y即可．
（II）求出耗油量為h（x）與速度為x的關系式，再利用導函數求出h（x）的極小值判斷出就是最小值即可．

解答：解：（I）當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了

100

40

=2.5小時，
要耗油(

1

128000

×403-

3

80

×40+8)×2.5=17.5（升）．
答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．
（II）當速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了

100

x

小時，設耗油量為h（x）升，
依題意得h(x)=(

1

128000

x3-

3

80

x+8)•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

(0＜x≤120)，h′(x)=

x

640

-

800

x2

=

x3-803

640x2

(0＜x≤120)．
令h'（x）=0，得x=80．
當x∈（0，80）時，h'（x）＜0，h（x）是減函數；
當x∈（80，120）時，h'（x）＞0，h（x）是增函數．
∴當x=80時，h（x）取到極小值h（80）=11.25．
因為h（x）在（0，120]上只有一個極值，
所以它是最小值．
答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．

點評：本小題主要考查函數、導數及其應用等基本知識，考查運用數學知識分析和解決實際問題的能力．