Question

9．如圖1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于點A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如圖2），使∠P'AD=90°．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面P'AC；
（Ⅱ）求三棱錐A-P'BC的體積；
（Ⅲ）線段P'A上是否存在點M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出點M的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出P'A⊥AD，AB⊥AP'．從而P'A⊥面ABCD．進而P'A⊥CD，再求出AC⊥CD．由此能證明CD⊥平面P'AC．
（Ⅱ）由V_A-P'BC=V_P'-ABC，能求出三棱錐A-P'BC的體積．
（Ⅲ）取P'A中點M，P'D中點N，連結BM，MN，NC，推導出四邊形BCNM為平行四邊形，由此能求出存在一點M，M為P'A的中點，使得BM∥面P'CD．

解答 （本小題共14分）
解：（Ⅰ）因為∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD．
因為在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱錐中，AB⊥AP'．
又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．
因為CD?面ABCD，所以P'A⊥CD．…（3分）
因為等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，且AB=BC=1．
所以$AC=\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{2}$，AD=2．所以AC²+CD²=AD²．
所以AC⊥CD．
因為P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC． …（5分）
（Ⅱ）因為${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•AB=\frac{1}{2}$，…（7分）
P'A⊥面ABCD．
所以${V_{A-P'BC}}={V_{P'-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•P'A=\frac{1}{6}$．   …（9分）
（Ⅲ）存在一點M，M為P'A的中點，使得BM∥面P'CD，…（10分）
證明：取P'A中點M，P'D中點N，連結BM，MN，NC，
因為M，N為中點，所以MN∥$\frac{1}{2}AD$，因為BC∥$\frac{1}{2}AD$，BC=$\frac{1}{2}AD$，
所以MN∥BC，MN=BC．
所以四邊形BCNM為平行四邊形．…（12分）
所以BM∥CN．
因為BM?面P'CD，CN?面P'CD．
所以BM∥平面P'CD．…（14分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．