Question

若雙曲線

x2

a

-

y2

b

=1（a＞0，b＞0）和橢圓

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0）有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂．P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF₁|²+|PF₂|²=（　　）

A．2（m²+a²）

B．2（m+a）

C．4（a+b）

D．4（m-n）

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線

x2

a

-

y2

b

=1（a＞0，b＞0）和橢圓

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0）有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，根據(jù)點(diǎn)P為橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合定義求出|PF₁|與|PF₂|的表達(dá)式，代入即可求出|PF₁|²+|PF₂|²的值．

解答：解：因?yàn)殡p曲線

x2

a

-

y2

b

=1（a＞0，b＞0）和橢圓

x2

m

+

y2

n

=1（m＞n＞0）有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，
設(shè)P在雙曲線的右支上，左、右焦點(diǎn)F₁、F₂：
利用橢圓以及雙曲線的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2

m

①
|PF₁|-|PF₂|=2

a

②
由①②得：|PF₁|=

m

+

a

，|PF₂|=

m

-

a

．
∴|PF₁|²+|PF₂|²=2（m+a）．
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)雙曲線和橢圓的定義得到|PF₁|與|PF₂|的表達(dá)式，屬中檔題．