Question

【題目】焦距為的橢圓()，如果滿足“”，則稱此橢圓為“等差橢圓”.

（1）如果橢圓()是“等差橢圓”，求的值；

（2）如果橢圓 ()是“等差橢圓”，過作直線與此“等差橢圓”只有一個公共點，求此直線的斜率；

（3）橢圓()是“等差橢圓”，如果焦距為12，求此“等差橢圓”的方程；

（4）對于焦距為12的“等差橢圓”，點為橢圓短軸的上頂點，為橢圓上異于點的任一點，為關于原點的對稱點(也異于)，直線分別與軸交于兩點，判斷以線段為直徑的圓是否過定點？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）是過定點，理由見解析；

【解析】

（1）聯立與，消去，化簡可得結果；

（2）聯立直線與橢圓方程，根據判別式等于0，可解得結果；

（3）聯立解出即可得到結果.

（4）設，則，利用直線方程求出的坐標，進而求出以線段為直徑的圓的方程，根據圓的方程得到定點坐標.

（1）因為橢圓()是“等差橢圓”，所以，

所以，又，所以，化簡得.

（2）顯然直線有斜率，設為，則直線，

由（1）知，所以橢圓方程為：，

聯立，消去并整理得，

因為直線與此“等差橢圓”只有一個公共點，

所以，化簡得，所以.

（3）因為，所以，所以，又，

聯立，解得，

所以此“等差橢圓”的方程為：.

（4）是過定點，理由如下：

由（3）可知橢圓方程為：，

所以，設，則，

所以直線的方程為：，令，得，所以，

同理可得，

所以以為直徑的圓的方程為，

結合，化簡得 ，

令，得，所以該圓恒過定點.