Question

扇形AOB的中心角為2θ，半徑為r，在扇形AOB中作內(nèi)切圓O₁及與圓O₁外切，與OA，OB相切的圓O₂，問sinθ為何值時(shí)，圓O₂的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：運(yùn)用圓與圓的位置關(guān)系和圓的面積公式進(jìn)行求解．

解答：解：設(shè)圓O₁及與圓O₂的半徑分別為r₁，r₂，
則

(r-r1)sinθ=r1 (r1+r2)cos( π 2 -θ)=r1-r2

，得

r1= rsinθ 1+sinθ r2= r1(1-sinθ) 1+sinθ

，
∴r2=

r1(1-sinθ)

1+sinθ

=

rsinθ(1-sinθ)

(1+sinθ)2

，
∵0＜2θ＜2π，∴0＜θ＜π，令t=sinθ+1（1＜t＜2），
r2=

-t2+3t-2

t2

=-2(

1

t

-

3

4

)2+

1

8

，當(dāng)

1

t

=

3

4

，即sinθ=

1

3

時(shí)，
圓O₂的半徑最大，圓O₂的面積最大，最大面積為

π

64

．

點(diǎn)評：正確掌握圓與圓的位置關(guān)系是準(zhǔn)確解題的關(guān)鍵．