Question

【題目】如圖，在矩形中，，，平面，且，、、分別為，，中點．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）以點為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，求得，得到，利用線面平行的判定定理，得到平面，再由面面平行的判定定理，即可證得平面平面．

（2）求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值．

解：（1）以點為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系．

則，，，，，，

又是中點，∴，，

∴，∴，

又平面，平面，∴平面，

又是中點，∴，

∵平面，平面，∴平面，

∵，，平面，∴平面平面．

（2）設平面的法向量，則，

由（1）知，，

∴，取，得，

同樣求平面的一個法向量，

，，

∴二面角的余弦值為．