Question

已知動點M（x，y）到定點F₁（-1，0）與到定點F₂（1，0）的距離之比為3．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程，并指明曲線C的軌跡；
（Ⅱ）設直線l：x=x+b，若曲線C上恰有兩個點到直線l的距離為1，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由動點M（x，y）到定點F₁（-1，0）與到定點F₂（1，0）的距離之比為3列式整理求曲線方程；
（Ⅱ）求出圓心到直線l的距離d，由圓C上恰有兩個點到直線l的距離為1得到d的范圍，求解不等式組得b得范圍．

解答：解：（Ⅰ）由動點M（x，y）到定點F₁（-1，0）與到定點F₂（1，0）的距離之比為3，
得

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=3，
整理得：(x-

5

4

)2+y2=

9

16

，
∴曲線C的軌跡是以(

5

4

，0)為圓心，以

3

4

為半徑的圓；
（Ⅱ）設圓心到直線l的距離為d，則當

1

4

＜d＜

7

4

時，圓C上恰有兩個點到直線l的距離為1．
由l：y=x+b，即l：x-y+b=0，∴d=

| 5 4 +b|

2

．
由

1

4

＜d＜

7

4

，得

1

4

＜

| 5 4 +b|

2

＜

7

4

．
解

1

4

＜

| 5 4 +b|

2

得，b＜-

5

4

-

2

4

或b＞-

5

4

+

2

4

；
解

| 5 4 +b|

2

＜

7

4

得，-

5

4

-

7 2

4

＜b＜-

5

4

+

7 2

4

∴實數b的取值范圍是(-

5

4

-

7 2

4

，-

5

4

-

2

4

)∪(-

5

4

+

2

4

，-

5

4

+

7 2

4

)．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法，關鍵是把曲線C上恰有兩個點到直線l的距離為1轉化為圓心到直線的距離范圍，是中檔題．