Question

在平面直角坐標系xOy中，已知動點M（x，y）和N（-4，y）滿足

OM

⊥

ON

．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若過點D（1，-1）的直線與軌跡交C于A、B兩點，且D為線段AB的中點，求此直線的方程．

Answer 1

分析：（1）先將條件：“

OM

⊥

ON

“化簡即得動點M的軌跡方程．
（2）設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設條件A、B兩點在拋物線上．由中點坐標公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y所以直線方程為y=-2x+1，由此可知此直線的方程．

解答：解：（1）因M（x，y），N（-4，y），
滿足

OM

⊥

ON

，所以-4x+y²=0，
即：y²=4x，即為動點M的軌跡C的方程．
（2）由題意得AB與x軸垂直，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設條件A、B兩點在拋物線上．
y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
兩式相減得：y₁²-y₂²=4x₁-4x₂
由中點坐標公式得y₁+y₂=-2，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-2，
所以直線方程為y=-2x+1．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一   求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系，求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法．本題是利用的直接法．直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．