Question

已知動點M（x，y）到定點O（0，0）與到定點A（3，0）的距離之比為

1

2

．
（1）求動點M的軌跡C的方程，并指明曲線C的軌跡；
（2）設直線l：y=x+b，若曲線C上恰有三個點到直線l的距離為1，求實數b的值．

Answer 1

分析：（1）利用動點M（x，y）到定點O（0，0）與到定點A（3，0）的距離之比為

1

2

，建立方程，化簡可得結論；
（2）曲線C上恰有三個點到直線l的距離為1，可得圓心到直線l的距離等于1，從而可求實數b的值．

解答：解：（1）∵動點M（x，y）到定點O（0，0）與到定點A（3，0）的距離之比為

1

2

，
∴

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，
化簡可得x²+y²+2x-3=0；
（2）x²+y²+2x-3=0可化為（x+1）²+y²=4，
∵曲線C上恰有三個點到直線l的距離為1，
∴圓心到直線l的距離為d=

|-1+b|

2

=1，
∴b=1-

2

或b=1+

2

．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．