Question

【題目】設橢圓：的右焦點為，右頂點為，已知橢圓離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，解得即可求出橢圓的C的方程；

（Ⅱ）由已知設直線l的方程為y=k (x-2) ，(k≠0)， 聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BF⊥HF,解得.由方程組消去y，解得，由,得到,轉化為關于k的不等式，求得k的范圍.

（Ⅰ）因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3，

所以，

因為橢圓離心率為，所以，

又，

解得，，，

所以橢圓的方程為；

（Ⅱ）設直線的斜率為，則，設，

由得，

解得，或，由題意得，

從而，

由（Ⅰ）知，，設，

所以，，

因為，所以，

所以，解得，

所以直線的方程為，

設，由消去，解得，

在中，，

即，

所以，即，

解得，或.

所以直線的斜率的取值范圍為.