Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，求，判斷的單調(diào)性，從而求出a的取值范圍；

（2）不妨設(shè)，由題意，可得，兩式相減，可得，兩式相加可得.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，得到，從而證明結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，

令，則函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).

，令.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，

即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為.

（2）證明：不妨設(shè).

由題意可得.

兩式相減可得，兩式相加可得.

.

令，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，.

.

又，

，即，

.