Question

設F₁，F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，
（1）設橢圓C上的點（

3

，

3

2

）到F₁，F₂兩點距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標
（2）設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段KF₁的中點B的軌跡方程
（3）設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，K_PN試探究k_PM•K_PN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓C上的點(

3

，

3

2

)到F₁，F₂兩點距離之和等于4，可知2a=4，求得a．把點(

3

，

3

2

)和a代入橢圓的標準方程，可求得b．進而可得橢圓的標準方程和焦點坐標．
（2）設KF₁的中點為B（x，y）則點K（2x+1，2y），把K的坐標代入橢圓的標準方程，可得到x和y的關系式即點B的軌跡方程
（3）設M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），p（x，y） 把這些點代入橢圓的標準方程，得到

x02

a2

+

y02

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1后兩式相減可得到

y2-y02

x2-x02

的值，然后表示出k_PM，K_PN后相乘并將

y2-y02

x2-x02

的值代入可得到結論．

解答：解：（1）由于點(

3

，

3

2

)在橢圓上，

( 3 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1
2a=4，
橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
焦點坐標分別為（-1，0），（1，0）
（2）設KF₁的中點為B（x，y）則點K（2x+1，2y）
把K的坐標代入橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中得

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1
線段KF₁的中點B的軌跡方程為(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱
設M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），p（x，y）
M，N，P在橢圓上，應滿足橢圓方程，
得

x02

a2

+

y02

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1
kPM=

y-y0

x-x0

，KPN=

y+y0

x+x0

k_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2-y02

x2-x02

=-

b2

a2

k_PM•K_PN的值與點P及直線L無關

點評：本題主要考查橢圓的標準方程和直線與橢圓的綜合問題．橢圓在圓錐曲線中所占比重最大，考查的也最多，要強化復習．