Question

【題目】各項為正數的數列如果滿足：存在實數，對任意正整數n，恒成立，且存在正整數n，使得或成立，則稱數列為“緊密數列”，k稱為“緊密數列”的“緊密度”．已知數列的各項為正數，前n項和為，且對任意正整數n，（A，B，C為常數）恒成立．

（1）當，，時，

①求數列的通項公式；

②證明數列是“緊密度”為3的“緊密數列”；

（2）當時，已知數列和數列都為“緊密數列”，“緊密度”分別為，，且，，求實數B的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①②見解析；（2）

【解析】

（1）利用公式得到是以首項為1，公差為2的等差數列，得到通項公式；計算恒成立，得到證明.

（2）根據遞推公式得到是以首項，公比的等比數列，考慮和兩種情況，計算得到，根據解得答案.

（1）①當，，時，，

當時，，

相減得：，

整理得：，因為，則，

即有，當時，，則．

則是以首項為1，公差為2的等差數列，則．

②，得隨著的增大而減小，

則對任意正整數n，恒成立，且存在，使得．

則數列是“緊密度”3的“緊密數列”．

（2）當時，，，相減得：，

若，則上式右端中，與矛盾；

若，則上式左端，與矛盾，則，．

則為常數，即是以首項，公比的等比數列．

因為數列為“緊密數列”，則， 所以，又．

當時，，對任意正整數恒成立，

且存在正整數，使得，所以數列的“緊密度”為，

又，即，

此時，隨的增大而減小，

所以，對任意正整數恒成立，

且當時，，所以數列的“緊密度”為，

則，與矛盾，不成立；

當時，，對任意正整數恒成立，

且存在正整數，使得，

則此時的“緊密度”為，即．

而隨著的增大而減小，

則對任意正整數恒成立，

且當時，，則的“緊密度”，即，

故，即，解得．

綜上所述：實數的取值范圍為．