Question

設等差數列{a_n}的前n項和是S_n，已知S₃=9，S₆=36．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列？若存在，求出m和k的值，若不存在，說明理由；
（3）設數列{b_n}的通項公式為b_n=3n﹣2．集合A={x|x=a_n，n∈N*}，B={x|x=b_n，n∈N*}．將集合A∪B中的元素從小到大依次排列，構成數列c₁，c₂，c₃，…，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）設等差數列{a_n}的公差是d，
由S₃=9和S₆=36，得，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=a₁+（n﹣1）d=2n﹣1，
故數列{a_n}的通項公式a_n=2n﹣1．
（2）存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列．
∵存在正整數m、k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列，
∴（2m﹣1）（2k﹣1）=（2m+9）²，
∴==2m﹣1+20+，
即，m，k是正整數，
∴存在正整數m，k，使a_m，a_m+5，a_k成等比數列，
m，k的值分別是m=1，k=61或m=1，k=23，或m=13，k=25．
（3）∵a_3k﹣2=2（3k﹣2）﹣1=6k﹣5，a_3k﹣1=2（3k﹣1）﹣1=6k﹣3，a_3k=23k﹣1=6k﹣1，
b_2k﹣1=3（2k﹣1）﹣2=6k﹣5=a_3k﹣2，b_2k=32k﹣2=6k﹣2A，
∴a_3k﹣2=b_2k﹣1＜a_3k﹣1＜b_2k＜a_3k，k=1，2，3，…，
即當n=4k﹣3，k∈N*時，c_n=6k﹣5；
當n=4k﹣2，k∈N*時，c_n=6k﹣3；
當n=4k﹣1，k∈N*時，c_n=6k﹣2；
當n=4k，k∈N*時，c_n=6k﹣1．
∴{c_n}的通項公式是c_n=，
即．