Question

已知函數f（x+1）是定義在R上的奇函數，若對于任意給定的不等實數x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，則不等式f（1-x）＜0的解集為（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，+∞）
C．（-∞，0）
D．（-∞，1）

Answer 1

【答案】分析：先利用不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函數f（x）是定義在R上的減函數；再利用函數f（x+1）是定義在R上的奇函數得到函數f（x）過（1，0）點，二者相結合即可求出不等式f（1-x）＜0的解集．
解答：解：由不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得，函數f（x）是定義在R上的減函數 ①．
又因為函數f（x+1）是定義在R上的奇函數，所以有函數f（x+1）過點（0，0）；
故函數f（x）過點（1，0）②．
①②相結合得：x＞1時，f（x）＜0．
故不等式f（1-x）＜0轉化為1-x＞1⇒x＜0．
故選C．
點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的綜合應用問題．關鍵點有兩處：①判斷出函數f（x）的單調性；②利用奇函數的性質得到函數f（x）過（1，0）點．