Question

已知奇函數f（x）的導函數為f′（x）=5+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，則實數x的取值范圍為（　　）

• A、（0，1）
• B、(1， 

  2

  )
• C、(-2， -

  2

  )
• D、(1， 

  2

  )∪(-

  2

  ， -1)

Answer 1

分析：由已知中奇函數f（x）的導函數為f′（x）=5+cosx，x∈（-1，1），我們易判斷出函數f（x）的在區間（-1，1）上的單調性，進而結合函數的單調性和奇偶性我們易將f（1-x）+f（1-x²）＜0，轉化為一個關于x的不等式組，解不等式組即可得到實數x的取值范圍．

解答：解：∵奇函數f（x）的導函數為f′（x）=5+cosx，
又∵f′（x）=5+cosx＞0在區間（-1，1）上恒成立，
∴函數f（x）在區間（-1，1）上單調遞增
若f（1-x）+f（1-x²）＜0
則f（1-x）＜-f（1-x²）=f（x²-1）
即

-1＜1-x＜1 -1＜1-x2＜1 1-x＜x2- 1

解得1＜x＜

2

故選B

點評：本題考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合應用，在利用函數的單調性和奇偶性對f（1-x）+f（1-x²）＜0進行轉化時，一定要注意函數的定義域為（-1，1）．