Question

已知

OA

=(

3

，1)，（O為坐標原點），|

OB

|=1，且

OA

與

OB

的夾角為60°，A、O、B順時針排列，點E、F滿足

OE

=λ

OA

，

OF

=

1

λ

OB

，點G滿足

EG

=

1

2

EF

．
（1）當λ變化時，求點G的軌跡方程；
（2）求|

OG

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意寫出B點的坐標，和E、F點的坐標，由點G滿足

EG

=

1

2

EF

，所以G為EF的中點，由中點坐標公式可寫出點G的坐標，消去λ得到x和y的關系即為點G的軌跡方程．
（2）將|

OG

|表示為λ的函數，利用基本不等式求最值即可．

解答：解：（1）由

OA

=(

3

，1)可得OA和x軸正半軸的夾角為30°，又因為|

OB

|=1，且

OA

與

OB

的夾角為60°，
 所以

OB

=(-

1

2

，

3

2

)，所以

OE

=λ

OA

=(

3λ

，λ)，

OF

=

1

λ

OB

=(-

1

2λ

，

3

2λ

)
由點G滿足

EG

=

1

2

EF

，所以G為EF的中點，所以G（

3λ - 1 2λ

2

，

λ+ 3 2λ

2

）
設G（x，y），則

x= 3λ - 1 2λ 2 y= λ+ 3 2λ 2

，消去λ得3y2-5x2+2

3

xy-2

3

=0
（2）|

OG

|=

( 3λ - 1 2λ 2 )2+( λ+ 3 2λ 2 )2

=λ2+

1

4λ2

≥1
當且僅當λ2=

1

4λ2

，即λ=±

2

2

時“=”成立．
故|

OG

|的最小值為1

點評：本題考查向量的坐標運算、向量的模、參數法求軌跡方程、基本不等式求最值等知識，綜合性強，考查運算能力．