Question

已知向量

a

=(1 ， m)，

b

=(m-1 ， 2)，且

a

≠

b

，若(

a

-

b

)⊥

a

．
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ） 求向量

a

 ， 

b

的夾角θ的大小．

Answer 1

分析：（I）先求出

a

-

b

的坐標，然后根據兩向量垂直的坐標關系建立等式，從而可求出m的值；
（II）根據（I）先求出向量

a

 ， 

b

的坐標，然后根據向量的夾角公式進行求解即可．

解答：解：（I）由已知得，

a

-

b

=（2-m，m-2），且m≠2
又(

a

-

b

)⊥

a

則(

a

-

b

)•

a

=0
即（2-m）×1+（m-2）×m=0
解得m=1或m=2（舍去）
∴m=1
（II）由（I）得

a

=（1，1），

b

=（0，2）
∴cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

2

2 ×2

=

2

2

又θ∈[0，π]
∴θ=

π

4

點評：本題主要考查了利用數量積判定兩向量的垂直關系，以及數量積表示兩個向量的夾角，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．