Question

△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（2sinB，-

3

），

n

=（cos2B，2cos²

B

2

-1）且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求銳角B的大��；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標及兩向量平行，利用平面向量平行時滿足的條件列出關系式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡，求出tan2B的值，由B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（Ⅱ）由B的度數求出sinB及cosB的值，進而由b及cosB的值，利用余弦定理列出關系式，再利用基本不等式化簡求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（2sinB，-

3

），

n

=（cos2B，2cos²

B

2

-1）且

m

∥

n

，
∴2sinB（2cos²

B

2

-1）=-

3

cos2B，
∴2sinBcosB=-

3

cos2B，即sin2B=-

3

cos2B，
∴tan2B=-

3

，
又B為銳角，∴2B∈（0，π），
∴2B=

2π

3

，
則B=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得：a²+c²-ac-4=0，
又a²+c²≥2ac，代入上式得：ac≤4（當且僅當a=c=2時等號成立），
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

（當且僅當a=c=2時等號成立），
則S_△ABC的最大值為

3

．…（12分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數量積運算，二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，余弦定理，基本不等式的運用，以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．