Question

已知銳角△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B），且

m

⊥

n

．
（1）求B的大小；
（2）若sinA，sinB，sinC成等差數列，且

BA

•（

AC

-

AB

）=18，求b的值．

Answer 1

分析：（1）把向量

n

的坐標利用二倍角的余弦函數公式化簡，再由

m

⊥

n

，得到其數量積為0，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用二倍角的正弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由B為銳角，得到這個角的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由sinA，sinB，sinC成等差數列，根據等差數列的性質列出關系式，利用正弦定理化簡，得到2b=a+b，再利用平面向量的數量積運算法則化簡

BA

•（

AC

-

AB

）=18，把cosB的值代入得到ac的值，利用余弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB，把cosB及ac的值代入，配方后將a+c換為2b，得到關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（2cos²

B

2

-1，cos2B）=（cosB，cos2B），且

m

⊥

n

．
∴

m

•

n

=0，即2sinBcosB+

3

cos2B=sin2B+

3

cos2B=2sin（2B+

π

3

）=0，…（4分）
又∵0＜B＜

π

2

，∴2B+

π

3

=π，
∴B=

π

3

；…（6分）
（2）由sinA，sinB，sinC成等差數列得：2sinB=sinA+sinC，
由正弦定理得：2b=a+c，
∵

BA

•（

AC

-

AB

）=18，∴

BA

•

BC

=18，
即ac•cosB=18，可得ac=36，
由余弦弦定理得：b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac，
∴b²=4b²-3×36，即b²=36，
∴b=6．…（12分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，等差數列的性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．