Question

已知△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

．
（1）求銳角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據

m

⊥

n

，

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)

m

•

n

=0可得，2sin(2B+

π

3

)=0，又因為0＜B＜

π

2

，得到答案B=

π

3

．
（2）根據余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，有根據基本不等式可知2²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac∴ac≤4（當且僅當a=c時取到等號）
代入s△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，得到答案．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)

m

•

n

=0

m

•

n

=(2sinB，

3

)•(2cos2

B

2

-1，cos2B)
=2sinB(2cos2

B

2

-1)+

3

cos2B_ =sin2B+

3

cos2B
=2sin(2B+

π

3

)=0
又∵0＜B＜

π

2

，∴2B+

π

3

=π，∴B=

π

3

（2）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
∴2²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac∴ac≤4（當且僅當a=c時取到等號）
∴s△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

∴△ABC的面積S_△ABC的最大值為

3

點評：本題主要考查向量數量積和向量垂直之間的關系．即兩向量互相垂直時二者的數量積等于0．