Question

已知△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（cosB，cos2B），且

m

⊥

n

（Ⅰ）求銳角B的大小，
（Ⅱ）如果b=2，求ac的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

m

⊥

n

?

m

•

n

=0，兩角和的正弦公式及正弦函數的單調性即可得出；
（II）利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

，
∴2sinBcosB+

3

cos2B=0，
∴sin2B+

3

cos2B=0，
∴2(

1

2

sin2B+

3

2

cos2B)=0，
∴sin(2B+

π

3

)=0，
又0＜B＜

π

2

，
∴

π

3

＜2B+

π

3

＜

4π

3

，
∴2B+

π

3

=π，
解得B=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
∴2²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤4．當且僅當a=c時取到等號，
∴ac的最大值為4．

點評：本題考查了

m

⊥

n

?

m

•

n

=0、兩角和的正弦公式及正弦函數的單調性、余弦定理和基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．