Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|+a．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，解不等式f（x）≥6；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥a²對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，從而求得f（x）≥6 的解集．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的最小值是4+a，要使不等式f（x）≥a²恒成立，故有 4+a≥a²，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求得 f(x)=

-4x+2 ， x＜- 1 2 4 ， - 1 2 ≤x≤ 3 2 4x-2 ， x＞ 3 2

，…（2分）
∴由f（x）≥6 可得 x≤-1，或x≥2，
所以，不等式的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由于函數(shù)  f(x)=

-4x+2+a ，x＜- 1 2 4+a ，- 1 2 ≤x≤ 3 2 4x-2+a ， x＞ 3 2

 的最小值是4+a，…（7分）
要使不等式f（x）≥a²恒成立，故有 4+a≥a²，解得

1- 17

2

≤a≤

1+ 17

2

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．