Question

數列｛a_n｝是首項為23，公差為整數的等差數列，且第六項為正，第七項為負.
（1）求數列的公差；
（2）求前n項和S_n的最大值；
（3）當S_n＞0時，求n的最大值．

Answer 1

（1）d=－4；（2）S₆=6×23＋ (－4)=78；（3）n的最大值為12。

(1)由已知a₆=a₁＋5d=23＋5d＞0，a₇=a₁＋6d=23＋6d＜0，
解得:－＜d＜－，又d∈Z，∴d=－4
(2)∵d＜0，∴{a_n}是遞減數列，又a₆＞0，a₇＜0
∴當n=6時，S_n取得最大值，S₆=6×23＋ (－4)=78
(3)S_n=23n＋ (－4)＞0，整理得：n(50－4n)＞0
∴0＜n＜，又n∈N*，
所求n的最大值為12.