Question

已知函數(shù).
（1）求證：函數(shù)在點處的切線恒過定點，并求出定點坐標；
（2）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時，求證：在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)
有無窮多個.

Answer 1

解：(1)因為 ，所以在點處的切線的斜率為
，
所以在點處的切線方程為 ，……2分
整理得，所以切線恒過定點 ．   ………4分
(2) 令<0，對恒成立，
因為 （*）
………………………………………………………………6分
令，得極值點，，
①當(dāng)時，有，即時，在（，+∞）上有，
此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有∈，不合題意；
②當(dāng)時，有，同理可知，在區(qū)間上，有∈，
也不合題意；          …………………………………………… 8分                              
③當(dāng)時，有，此時在區(qū)間上恒有，
從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，
所以．    
綜上可知的范圍是．      ……………………………………………12分
(3)當(dāng)時，
記．
因為，所以在上為增函數(shù)，
所以，        ………………………………14分
設(shè), 則,
所以在區(qū)間上，滿足恒成立的函數(shù)有無窮多個．16分

略