Question

【題目】已知雙曲線的左，右焦點分別為，，點P為雙曲線C右支上異于頂點的一點，的內切圓與x軸切于點，則a的值為______，若直線經過線段的中點且垂直于線段，則雙曲線C的方程為________________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

設點是雙曲線右支上一點，按雙曲線的定義，，設三角形的內切圓心在軸上的投影為，分別為內切圓與的切點．由同一點向圓引得兩條切線相等知，由此得到△的內切圓的圓心橫坐標．即為，根據條件△為直角三角形，有,則，所以在△中,可求解.

點是雙曲線右支上一點，由雙曲線的定義，可得，
若設三角形的內切圓心在橫軸上的投影為，

該點也是內切圓與軸的切點．設分別為內切圓與的切點．

考慮到同一點向圓引的兩條切線相等：
則有：

即，
所以內切圓的圓心橫坐標為 ．
由題意可得，

又直線經過線段的中點且垂直于線段

設得中點為，則 ,

所以直線與平行，則 ，

則，根據雙曲線的定義有：

則在直角三角形△中有：

解得：，所以

由勾股定理有，即

解得： ，所以

所以雙曲線方程為：

故答案為：2 .