Question

已知函數y=f(x)的圖象是自原點出發的一第折線。當n≤y≤n+1(n=0,1,2…)時，該圖象是斜率為bⁿ的線段（其中正常數b≠1）,設數列由f(x_n)=n(n=1,2…)定義。

（1）求x₁、x₂和x_n的表達式

（2）求f(x)的表達式，并寫出其定義域；

（3）證明：y=f(x)的圖像與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點。

Answer 1

答案：
解析：

(1)依題意f(0)=0，又由f(x1)=1，當0≤y≤1時，函數y=f(x)的圖象是斜率b0=1的線段，故由，得xl=l。     又由f(x2)=2，當1≤y≤2時，函數y=f(x)的圖象是斜率為b的線段，     故由，即x2－x1=得，x2=1+。     設當k－1≤y≤k時，xk=1+++…+，則當k≤y≤k十1時。，即，即，∴對任何自然數n，； (2)略。 (3)假設y=f(x)的圖象與y=x的圖象有大于1的交點，且xn＜x≤xn+1(n∈N)，則方程組有解。     消去y得x=n+bn(x－xn)，整理得(x－xn)(bn－1)=xn－n。(1)，當b＞1時，bn－1＞0，x－xn＞0，∴(x－xn)(bn－1)＞0。     又∵     。     即(1)左右不等，矛盾。其次，當b＜1時，仿上述證明，也可導致矛盾。故函數y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于l的交點。