Question

已知數列a_n滿足a₁=2，；
（Ⅰ）求數列a_n的通項公式；
（Ⅱ）若數列的前n項和為S_n，試比較a_n-S_n與2的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，得，故由此能求出a_n．
（Ⅱ）由S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，知2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，所以S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，由此能夠推導出a_n-S_n＞2．
解答：解：（Ⅰ）由，得=，
∴數列是以為首項，為公比的等比數列．
∴得a_n=n²•2ⁿ（n∈N⁺）（5分）
（Ⅱ）由條件知：
S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=
整理得：S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，（9分）
∴a_n-S_n-2=n²×2ⁿ-（n-1）×2ⁿ⁺¹-4=[（n-1）²+1]×2ⁿ-4，
∵n∈N⁺，∴n=1時，a_n-S_n-2＜0，∴a_n-S_n＜2
n≥2時，a_n-S_n＞2，∴a_n-S_n＞2．（12分）
點評：本題考查數列通項公式的求法和數列前n項和的求法，利用數列的性質比較比較a_n-S_n與2的大小，解題時要注意數列性質的合理運用．