Question

已知A、B、C為直線l上三點，且AB=BC=a；P為l外一點，且∠APB=90°，∠BPC=45°，求
（1）∠PBA的正弦、余弦、正切；
（2）PB的長；
（3）P點到l的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P點作PD⊥AB交AB于點D，過點B作BE∥AP交PC于點E依題意可知∠PBE=90°，∠PEB=45°，PB=BE，再根據△CPA∽△CEB相應邊的比相等，可求的，由于PB=BE，進而可得的值，求得tan∠PBA，再根據同角三角函數關系可求得cos∠PBA和sin∠PBA．
（2）在直角三角形APB中，根據PB=AB•cos∠PBA求得PB．
（3）P點到l的距離即為圖中PD的長度，在直角三角形PDB中，根據PD=PB•sin∠PBA，求得PD的長度．
解答：解：過P點作PD⊥AB交AB于點D（如圖）
（1）過點B作BE∥AP交PC于點E
則∠PBE=90°，∠PEB=45°，PB=BE．
∵△CPA∽△CEB，
∴，
因PB=BE，
∴．
又∵1+tg²∠PBA=sec²∠PBA，∠PBA為銳角，
∴，．

（2）．
（3）∵，
∴．
綜上，所求為
（1）∠PBA的正弦、余弦、正切分別是；
（2）PB的長為；
（3）P點到l的距離為．．
點評：本題主要考查三角形中的幾何計算．要充分利用好三角形中的特殊角如90°，60°，45°等利用三角函數關系來解決問題．