Question

現有5名男生，4名女生（所有問題均用數字作答，否則視為無效答案）
（1）若9名學生排成一排，請回答下列問題：
①要求女生必修站在一起，有多少種不同的排法？
②若4名女生互不相鄰，有多少種不同的排法？
③若男生甲不站排頭，女生乙不站排尾，有多少種不同的排法？
④若9名學生身高互不相同，最高的站中間，從中間向兩邊看身高依次降低，有多少種不同的站法？
（2）若從9名學生中任選3人，請回答下列問題：
⑤其中既有男生又有女生，有多少種不同的選法？
⑥其中有1名女生，2名男生，分別參加3項不同的義務工作，共有多少種不同的分工方法？

Answer 1

分析：（1）①把4個女生捆綁在一起，看成一個整體，方法有

A

4 4

種，再把它和另外5名男生進行排列，方法有

A

6 6

種，再根據分步計數原理求得不同的排列方法種數．
②先把5名男生排列，方法有

A

5 5

種，再把4個女生插入4個男生形成的6個空中，方法有

A

4 6

種，再根據根據分步計數原理，求得不同的排列方法數．
③若男生甲站排尾，則不同的方法數有

A

8 8

種，若男生甲不在排尾，則有

C

1 7

•

C

1 7

•

A

7 7

種不同的方法，根據分類計數原理求得結果．
④最高的站中間，從中間向兩邊看身高依次降低，有

C

4 8

•

C

4 4

種方法．
（2）⑤若從9名學生中任選3人，若其中2個男生一名女生，則有

C

2 5

•

C

1 4

種方法，若其中有2名女生一名男生，則有

C

2 4

•

C

1 5

種方法，再根據分類計數原理求得結果．
⑥其中有1名女生，2名男生，分別參加3項不同的義務工作，共有

C

2 5

•

C

1 4

•

A

3 3

種不同方法．

解答：解：（1）①把4個女生捆綁在一起，看成一個整體，方法有

A

4 4

種，再把它和另外5名男生進行排列，方法有

A

6 6

種，
根據分步計數原理可得，不同的排列方法共有

A

4 4

•

A

6 6

=17280種．
②先把5名男生排列，方法有

A

5 5

種，再把4個女生插入4個男生形成的6個空中，方法有

A

4 6

種，
根據分步計數原理，求得不同的排列方法共有

A

5 5

•

A

4 6

=43200種．
③若男生甲站排尾，則不同的方法數有

A

8 8

種，若男生甲不在排尾，則有

C

1 7

•

C

1 7

•

A

7 7

種不同的方法，
根據分類計數原理，不同的排列方法共有

A

8 8

+

C

1 7

•

C

1 7

•

A

7 7

=40320+5040=45360 種
④最高的站中間，從中間向兩邊看身高依次降低，則把最高的排在正中間，從剩余的人中，任意選出4人，按要求的順序排在最高者的左邊，
方法有

C

4 8

；剩下的4個人按要求的順序排在最高者的右邊，方法有

C

4 4

種，根據分步計數原理可得，共有

C

4 8

•

C

4 4

=70種方法．
（2）⑤若從9名學生中任選3人，若其中2個男生一名女生，則有

C

2 5

•

C

1 4

=40 種方法，若其中有2名女生一名男生，則有

C

2 4

•

C

1 5

=30種方法，
根據分類計數原理，不同的選法共有40+30=70種．
⑥其中有1名女生，2名男生，分別參加3項不同的義務工作，共有

C

2 5

•

C

1 4

•

A

3 3

=240種不同的方法．

點評：本題主要考查排列組合、兩個基本原理的實際應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．