Question

（2013•天津一模）已知函數(shù)f（x）=sin2x+acos²x，a，a為常數(shù)，a∈R，且f(

π

4

)=0．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）當x∈[

π

24

，

11π

24

]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由f(

π

4

)=0，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入然后把求出a的值代入f（x）中，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角差的正弦函數(shù)公式和特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)公式求出結果．
（II）根據(jù)x的范圍求出2x-

π

4

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求出sin（2x-

π

4

）的值域即可得到f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f(

π

4

)=sin

π

2

+acos2

π

4

=0
即1+

1

2

a=0，
所以a=-2
所以f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π
（Ⅱ）由x∈[

π

24

，

11π

24

]，得2x-

π

4

∈[-

π

6

，

2π

3

]
則sin(2x-

π

4

)∈[-

1

2

，1]
所以-

2

2

-1≤

2

sin(x-

π

4

)-1≤

2

-1
所以函數(shù)y=f（x）的最大值為

2

-1；最小值為-

2

2

-1

點評：本題三角函數(shù)周期的求法，又考查學生會求正弦函數(shù)的在某一范圍內的最值以及會求正弦函數(shù)的值域．是一道綜合題．