Question

已知f（x）=4msinx-cos2x（x∈R）．
（1）若m=0，求f（x）的單調遞增區間；
（2）若f（x）的最大值為3，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）把m=0代入函數解析式，進而利用余弦函數的單調性求得函數的單調遞增區間．
（2）利用兩角和公式對函數解析式化簡整理，然后令t=sinx，進而可推斷出g（t）=2（t+m）²-（2m²+1），進而根據二次函數的性質對m進行分類討論，根據m的范圍確定二次函數的開口方向和函數的最大值，求得m．

解答：解：（1）當m=0時，f（x）=-cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得kπ≤x≤kπ+

π

2

(k∈Z)．
因此f（x）=-cos2x的單調增區間為[kπ，kπ+

π

2

](k∈Z)．

（2）f（x）=4msinx-cos2x=2sin²x+4msinx-1=2（sinx+m）²-（2m²+1）
令t=sinx，則g（t）=2（t+m）²-（2m²+1）（-1≤t≤1）．
①若-m≤0，則在t=1時，g（t）取最大值1+4m．
由

1+4m=3 -m≤0

，得m=

1

2

；
②若-m＞0，則在t=-1時，g（t）取最大值1-4m．
由

1-4m=3 -m＞0

，得m=-

1

2

；
綜上，m=±

1

2

．

點評：本題主要考查 了三角函數的最值，二次函數的性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．