Question

已知函數f（x）=|x+1|+|x-a|關于x=1對稱，則不等式f（x²-3）＜f（x-1）的解為

（-3，-1）

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）=|x+1|+|x-a|關于x=1對稱，可求函數的解析式，進而利用換元的思想，將函數轉化為偶函數，從而利用函數的單調性求出不等式的解．

解答：解：因為函數圖象關于x=1對稱，所以，f（x）=f（2-x）對任意實數x都成立，
即|x+1|+|x-a|=|x-3|+|x+a-2|，
取x=3得|a-3|+4=|a+1|，
解得 a=3．
∴函數f（x+1）=|x+2|+|x-2|關于x=0對稱，且在（2，+∞）上為單調增函數
令g（x）=f（x+1），則g（x）關于x=0對稱，且在（2，+∞）上為單調增函數
不等式f（x²-3）＜f（x-1）等價于g（x²-4）＜g（x-2）
∴|x²-4|＜|x-2|
∴-3＜x＜-1
故答案為：（-3，-1）

點評：本題以函數的對稱性為載體，考查函數的解析式，同時考查了利用函數的單調性解不等式，解題的關鍵是根據函數的解析式，得出函數的性質．