Question

在△ABC中，BC=

5

，AC=3，sinC=2sinA
（Ⅰ）求AB的值．
（Ⅱ）求sin(2A-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由BC，AC及sinC=2sinA，利用正弦定理即可求出AB的值；
（Ⅱ）由余弦定理表示出出cosA，把BC，AC及AB的值代入求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，從而利用二倍角的正弦、余弦函數公式分別求出sin2A和cos2A的值，把所求式子利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將sin2A和cos2A的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，BC=

5

，AC=3，sinC=2sinA，
則根據正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

得：
AB=sinC

BC

sinA

=2BC=2

5

；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=2

5

，BC=

5

，AC=3，
∴根據余弦定理得：cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

2 5

5

，
又A為三角形的內角，則sinA=

1-cos2A

=

5

5

，
從而sin2A=2sinAcosA=

4

5

，cos2A=cos2A-sin2A=

3

5

，
則sin(2A-

π

4

)=sin2Acos

π

4

-cos2Asin

π

4

=

2

10

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，余弦定理，同角三角函數間的基本關系，二倍角的正弦、余弦函數公式，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．