Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D₁的中點，Q是A₁B₁的任意一點，E、F是CD上的任意兩點，且EF的長為定值．給出以下結論：
①異面直線PQ與EF所成的角是定值；
②點P到平面QEF的距離是定值；
③直線PQ與平面PEF所成的角是定值；
④三棱錐P-QEF的體積是定值；以上說法正確的序號是

 

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Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離,簡易邏輯

分析：①由于DC∥A₁B₁，可得A₁B₁與直線PQ所成的銳角或直角即為異面直線PQ與EF所成的角，與點Q的位置有關，不是定值；
②由于點Q到平面PCD的距離是定值，△PEF的面積是定值，因此三棱錐Q-PEF的體積是定值，而△QEF的面積是定值，因此點P到平面QEF的距離是定值，即可判斷出；
③由于點Q到平面PCD的距離是定值，而PQ的長度與點Q的位置有關，因此直線PQ與平面PEF所成的角不是定值；
④由②可知：三棱錐P-QEF的體積是定值．

解答： 解：①∵DC∥A₁B₁，∴A₁B₁與直線PQ所成的銳角或直角即為異面直線PQ與EF所成的角，與點Q的位置有關，不是定值，不正確；
②由于點Q到平面PCD的距離是定值，△PEF的面積是定值，因此三棱錐Q-PEF的體積是定值，而△QEF的面積是定值，因此點P到平面QEF的距離是定值，與點Q的位置無關，正確；
③由于點Q到平面PCD的距離是定值，而PQ的長度與點Q的位置有關，因此直線PQ與平面PEF所成的角不是定值；
④由②可知：三棱錐P-QEF的體積是定值，正確；
以上說法正確的序號是 ②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查了正方體的性質、三棱錐的體積、線面角、異面直線所成的角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．