Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）若函數在上為減函數，求的最小值；

（Ⅱ）若函數（， 為自然對數的底數），，對于任意的，恒有成立，求的范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先將函數單調遞減問題轉化為導函數非正恒成立問題，再根據一元二次不等式恒成立充要條件，轉化為對應區間端點值非正，最后解不等式可得的取值范圍，進而確定的最小值；（Ⅱ）先將不等式恒成立問題轉化為對應函數最值問題： ,利用導數可求得,轉化為不等式對恒成立，易得.

試題解析：（Ⅰ）

所以在上恒成立

所以在上恒成立

令，所以

所以 ， ， 的最小值為

（Ⅱ），

由，則

化簡得,解得 或

所以

當時， ， 在單調遞增

當時， ， 在單調遞減

又因為，所以當時，

，即對恒成立

因為,所以,所以