Question

4．某園林公司準備綠化一塊半徑為200米，圓心角為$\frac{π}{4}$的扇形空地（如圖的扇形OPQ區域），扇形的內接矩形ABCD為一水池，其余的地方種花，若∠COP=α，矩形ABCD的面積為S（單位：平方米）．
（1）試將S表示為關于α的函數，求出該函數的表達式；
（2）角α取何值時，水池的面積 S最大，并求出這個最大面積．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα$（0＜α＜\frac{π}{4}）$，求出BC=200sinα，AB=200cosα-200sinα，得到S=$20000\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-20000$，$（0＜α＜\frac{π}{4}）$即可．
（2）利用三角函數的最值，求解$α=\frac{π}{8}$時，水池的面積S最大，最大面積為$20000\sqrt{2}-20000$平方米．

解答 解：（1）在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα$（0＜α＜\frac{π}{4}）$…（1分）
在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}=\;tan\frac{π}{4}=1$，
∴OA=DA=BC=200sinα…（2分）
∴AB=OB-OA=200cosα-200sinα，…（4分）
故S=AB•BC=（200cosα-200sinα）•200sinα
=40000sinαcosα-40000sin²α=20000sin2α-20000（1-cos2α）
=20000（sin2α+cos2α）-20000…（6分）
=$20000\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-20000$，$（0＜α＜\frac{π}{4}）$…（8分）
（2）由$0＜α＜\frac{π}{4}$，得$\frac{π}{4}＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，
所以當$2α+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{8}$時，…（9分）
S_最大=$20000\sqrt{2}-20000$…（11分）
因此，當$α=\frac{π}{8}$時，水池的面積S最大，最大面積為$20000\sqrt{2}-20000$平方米        …（12分）

點評 本題考查函數的函數的實際應用，三角函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．