Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，且過點P（1，

3

2

），F為其右焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過點A（4，0）的直線l與橢圓相交于M，N兩點（點M在A，N兩點之間），若△AMF與△MFN的面積相等，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，橢圓方程可化為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，又點P（1，

3

2

）在橢圓上，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）易知直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-4），與橢圓方程聯立，借助于韋達定理，及△AMF與△MFN的面積相等，即可求得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c．…（1分）
設橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，又點P（1，

3

2

）在橢圓上，所以

1

4c2

+

3

4c2

=1，解得c=1，…（3分）
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）易知直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-4），…（5分）
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1

，消去y整理，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，…（6分）
由題意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得-

1

2

＜k＜

1

2

．…（7分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

32k2

3+4k2

①，x1x2=

64k2-12

3+4k2

②．
因為△AMF與△MFN的面積相等，所以|AM|=|MN|，所以2x₁=x₂+4 ③…（10分）
由①③消去x₂得x1=

3+16k2

3+4k2

 ④
將x₂=2x₁-4代入②得x₁（2x₁-4）=

64k2-12

3+4k2

 ⑤
將④代入⑤

4+16k2

3+4k2

×(2×

4+16k2

3+4k2

-4)=

64k2-12

3+4k2

，
整理化簡得36k²=5，解得k=±

5

6

，經檢驗成立．…（12分）
所以直線l的方程為y=±

5

6

（x-4）．…（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是聯立方程組，利用韋達定理求解．