Question

22.已知橢圓C：短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意

∴b=1, ∴所求橢圓方程為

（Ⅱ）設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|=.（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.

由已知把y=kx+m代入橢圓方程，整理得

（3k₂+1）x²+6kmx+3m²-3=0, ∴x₁+x₂=

∴|AB| ²=(1+k²)(x₂-x₁)²=(1+k²)[]

當(dāng)且僅當(dāng)9k²=,即k=±時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=，

綜上反述|AB| _max=2.

∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值

S=