Question

設橢圓E:=1（）過點M（2，）, N（，1），為坐標原點

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）橢圓E的方程為；（II）存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 

【解析】

試題分析：（I）將點M（2，） ，N(,1)的坐標代入橢圓的方程即得一方程組：解這個方程組得，從而得橢圓E的方程為 

（II）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 設該圓的切線方程為，聯立方程組，利用韋達定理及找到k與m間的關系式，再利用直線與圓相切，看看能否求出這樣的圓來，若能求出這樣的圓，則說明存在，若不能求出這樣的圓，則說明不存在

試題解析： （I）因為橢圓E: （a,b>0）過M（2，） ，N(,1)兩點，

所以解得所以橢圓E的方程為     4分

（II）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即   ，

則△=,即

,  7分

要使,需使,即,

所以,所以又,所以,

所以,即或,                  9分

因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,

所求的圓為,                       11分

此時圓的切線都滿足或,

而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,                    12分　

綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 

                                13分

考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關系